所谓系统的特征方程,指的是使闭环传递函数分母为零的方程.
其意义在于可以解出闭环极点,而闭环极点决定了系统响应的运动模态
很简单地,根据定义,特征方程就是闭环的分母(为0),
2015年10月6日星期二
Verhalten linearer System
Die Lösung der Zustnagsgleichung beschreibt das zeitliche Verhalten eines
Systems.
Die Lösung der Zustangsgleichng kann explizit in Abhängigkeit vom Anfangszustang
und vom Verlauf der Einggangsgröße angegeben werden.Diese Lösung ist die
Grundlage für eine tiefgründige Analyse des Systemverhaltens,die wesentlich merh
ergibt als nur den Wert des Zustangs oder der Ausgangsgröße zu neinem
besteimmten Zeitpunkt t.
Es wird sich zeigen, dass das Verhalten jedes linearen Systems in die freie
Bewegung und die erzwungene Bewegung zerlegt werden kann,wobei die freie
Bewegung nur vom Anfangszustand x0 und die erzwungene Bewegung nur von der
Eingangsgröße u abhängt.
Beide Bewegung können in Modi zerlegt werden,deren zeitlicher Verlauf durch
die Eigenwert des Systemmatrix A bestimmt wird.Eine weitergehende Analyse wird
zeigen,dass die erzungene Bewegung in das Übergangsverhalten und das stationäre
Verhalten zerlegt werden kann.
Systems.
Die Lösung der Zustangsgleichng kann explizit in Abhängigkeit vom Anfangszustang
und vom Verlauf der Einggangsgröße angegeben werden.Diese Lösung ist die
Grundlage für eine tiefgründige Analyse des Systemverhaltens,die wesentlich merh
ergibt als nur den Wert des Zustangs oder der Ausgangsgröße zu neinem
besteimmten Zeitpunkt t.
Es wird sich zeigen, dass das Verhalten jedes linearen Systems in die freie
Bewegung und die erzwungene Bewegung zerlegt werden kann,wobei die freie
Bewegung nur vom Anfangszustand x0 und die erzwungene Bewegung nur von der
Eingangsgröße u abhängt.
Beide Bewegung können in Modi zerlegt werden,deren zeitlicher Verlauf durch
die Eigenwert des Systemmatrix A bestimmt wird.Eine weitergehende Analyse wird
zeigen,dass die erzungene Bewegung in das Übergangsverhalten und das stationäre
Verhalten zerlegt werden kann.
2015年10月3日星期六
Algorithmus: Aufstellung einer Differentialgleichung
Gegeben: Kontinuierliches System mit Eingang u und Ausgang y;
1: Systemzerleung : Zerlegen Sie das System in Komponenten;
2: Komponentenmodelle : Schreiben Sie die physikalischen Gesetze auf,
die das Verhalten der Komponenten beschreiben.
3: Kopplungsbeziehungen : Schreiben Sie die Beziehungen auf, die
zwischend den Komponenten bestehen.
4: Modellumformung : Fassen Sie die Gleichungen zu einer
Differentialgleichung zusammen;
Nur der Vierte Schritt hängt davon ab, welches Signal als Eingangsgröße und welches als Ausgangsgröße betrachtet wird.
1: Systemzerleung : Zerlegen Sie das System in Komponenten;
2: Komponentenmodelle : Schreiben Sie die physikalischen Gesetze auf,
die das Verhalten der Komponenten beschreiben.
3: Kopplungsbeziehungen : Schreiben Sie die Beziehungen auf, die
zwischend den Komponenten bestehen.
4: Modellumformung : Fassen Sie die Gleichungen zu einer
Differentialgleichung zusammen;
Nur der Vierte Schritt hängt davon ab, welches Signal als Eingangsgröße und welches als Ausgangsgröße betrachtet wird.
Modellbildungsaufgabe
Gegeben: Dynamisches System
mit Eingangsgröße u und Ausgangsgröße y
Gesucht: Differentialgleichung oder Zustandsraummodell.
Für die Verwendung der genannten Modelle ist es nicht nur wichtig zu wissen,
welche mathematischen Eigenschaften diese Modelle haben. Für die Anwendung ist es
mindestens genauso wichtig zu wissen, wie sich die physikalischen
Eigenschaften dynamischer Systeme in diesen Modellen niederschlagen.
Voraussetzungen:
1:Im Folgenden werden nur Systeme betrachtet,die als Systeme mit
konzentrierten Parametern behandelt werden können und für die als Modell
folglich eine gewöhnliche Differenzialgleichung entsteht. Die dynamischen
Eigenschaften der Systeme sollen zeitlich unveränderlich sein, so dass die
Differentialgleichung konstante Koeffizienten bzw. die im Zustandsraummodell
vorkommenden Matrizen und Vektoren Konstante Elemente besitzen.
2:Das Verhalten der Systeme wird im Zeitintervall t = 0...unendlich.
und die Nachwirkung, die die Bewegung des Systems im Zeitintervall(-unendlich..0)
auf das Systemverhalten im Zeitintervall t = 0...unendlich hat,durch die
Anfangsbedingungen der Differentialgleichung bzw.den Anfangszustand des Systems
erfasst.Deshalb werden alle Signale nur für das Zeitintervall t = 0...unendlich
beschrieben und es wird angenommen, dass die Signale für t < 0 verschwinden.Man
nennt derartige Signale auch Kausale Signale.
mit Eingangsgröße u und Ausgangsgröße y
Gesucht: Differentialgleichung oder Zustandsraummodell.
Für die Verwendung der genannten Modelle ist es nicht nur wichtig zu wissen,
welche mathematischen Eigenschaften diese Modelle haben. Für die Anwendung ist es
mindestens genauso wichtig zu wissen, wie sich die physikalischen
Eigenschaften dynamischer Systeme in diesen Modellen niederschlagen.
Voraussetzungen:
1:Im Folgenden werden nur Systeme betrachtet,die als Systeme mit
konzentrierten Parametern behandelt werden können und für die als Modell
folglich eine gewöhnliche Differenzialgleichung entsteht. Die dynamischen
Eigenschaften der Systeme sollen zeitlich unveränderlich sein, so dass die
Differentialgleichung konstante Koeffizienten bzw. die im Zustandsraummodell
vorkommenden Matrizen und Vektoren Konstante Elemente besitzen.
2:Das Verhalten der Systeme wird im Zeitintervall t = 0...unendlich.
und die Nachwirkung, die die Bewegung des Systems im Zeitintervall(-unendlich..0)
auf das Systemverhalten im Zeitintervall t = 0...unendlich hat,durch die
Anfangsbedingungen der Differentialgleichung bzw.den Anfangszustand des Systems
erfasst.Deshalb werden alle Signale nur für das Zeitintervall t = 0...unendlich
beschrieben und es wird angenommen, dass die Signale für t < 0 verschwinden.Man
nennt derartige Signale auch Kausale Signale.
Beschreibung linearer Systeme durch Differentialgleichungen
Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung
Die Differentialgleichung beschreibt den dynamischen Zusammenhang zwischen der Eingangsgröße u(t) und der Ausgangsgröße y(t),also die Übertragungseigenschaften
des gezeigten Blocks .Sie hat die allgemeine Form
Gleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung.
ai und bi sind reellwertige Koeffizienten, die aus den physikalischen Parametern
des Systems berechnet werden können.Die erste und zweite Ableitung nach der Zeit kennzeichnet man oft mit einme bzw.zwei Punkten über der abgeleiteten Größe:
Es wird angenommen, dass für die Grade der höchsten Ableitungen von y und u die
Beziehung q <= n gilt, weil nur Systeme,die diese Bedingung
erfüllen,technisch realisierbar sind. Die Differenz für technisch realisierbare
Systeme: r = n - q >= 0 wird relativer Grad(oder Relativgrad,
Differenzordnung,Differenzgrad)des Systems bezeichnet.
Bei der Systembeschreibung durch eine Differentialgleichung interessiert man
sich für die zukünftige Bewegung, also für y(t) für t>=0(oder allgemeiner t>=t0).
Deshalb muss auch die Eingangsgröße nur für t>= 0 bekannt sein.Die Wirkung der
Eingangsgröße für t < 0 spiegelt sich in den n Anfangsbedingungen der
Differentialgleichung wider,für die Werte y01,y02,...,y0n gegeben sein müssen:
Die lineare Differentialgleichung hat die Eigenschaft,dass sie für eine beliebige
im Zeitintervall t>=0 gegebene Eingangsgröße u(t) eine eindeutige Lösung y(t)(t
>= 0)besitzt
Die Differentialgleichung beschreibt den dynamischen Zusammenhang zwischen der Eingangsgröße u(t) und der Ausgangsgröße y(t),also die Übertragungseigenschaften
des gezeigten Blocks .Sie hat die allgemeine Form
Gleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung.
ai und bi sind reellwertige Koeffizienten, die aus den physikalischen Parametern
des Systems berechnet werden können.Die erste und zweite Ableitung nach der Zeit kennzeichnet man oft mit einme bzw.zwei Punkten über der abgeleiteten Größe:
Es wird angenommen, dass für die Grade der höchsten Ableitungen von y und u die
Beziehung q <= n gilt, weil nur Systeme,die diese Bedingung
erfüllen,technisch realisierbar sind. Die Differenz für technisch realisierbare
Systeme: r = n - q >= 0 wird relativer Grad(oder Relativgrad,
Differenzordnung,Differenzgrad)des Systems bezeichnet.
Bei der Systembeschreibung durch eine Differentialgleichung interessiert man
sich für die zukünftige Bewegung, also für y(t) für t>=0(oder allgemeiner t>=t0).
Deshalb muss auch die Eingangsgröße nur für t>= 0 bekannt sein.Die Wirkung der
Eingangsgröße für t < 0 spiegelt sich in den n Anfangsbedingungen der
Differentialgleichung wider,für die Werte y01,y02,...,y0n gegeben sein müssen:
Die lineare Differentialgleichung hat die Eigenschaft,dass sie für eine beliebige
im Zeitintervall t>=0 gegebene Eingangsgröße u(t) eine eindeutige Lösung y(t)(t
>= 0)besitzt
2015年10月2日星期五
Vergleich von Signalflussgraph und Blockschaltbild
Drei wichtige Eigenschaften haben beide Darstellungsformen gemeinsam:
1:Sie beschreiben die Struktur des Systems,ohne auf detaillierte dynamische
Eigenschaften einzugehen.
2:Die Darstellung eines Systems kann aus den entsprchenden Darstellungen der
Teilsystem zusammengesetzt werden,denn die Elemente der Blockschaltbilder bzw.
der Signalflussgraphen sind beliebig kombinierbar.
3:Beide Darstellung abstrahieren von der physikalischen Realität,die im
Gegensatz dazu in elektrischen Netzwerken oder RI-schemata gut erkennbar ist.
Unterschied:
Im Unterschied zum Blockschaltbild beschreibt der Signalflussgraph nicht nur den
globaen Zusammenhang zwischen den Signalen,sondern auch,wie die Signale im
Einzelnen miteinander verknüpft werden.Er steht deshalb in sehr engem
Zusammenhang mit dem quantitativen Modell des betrachteten Systems.Demgegenüber
kann das Blockschaltbild als globale Darstellung auch aus einer verbalen
Beschreibung des Systems aufgestellt werden.Ein weiterer Unterschied besteht in der Tatsache, dass der Signalflussgraph im Wesentlichen nur bei linearen Systemen angewendet werden kann.
Signalflussgraph
Um die gegenseitige Beeinflussung einzelner Signale unterreinander genauer darstellen zu können, wird später außer dem Blockschaltbild der Signalfulssgraph eingesetzt.
Der Signalflussgraph ist ein gerichteter Graph, bei dem die Knoten Signale und die Kanten Übertragungseigenschaften beschreiben.Er hat folgende Interpretaion:
Der Wert jedes Signals kann in Abhängigkeit von den Signalen
bestimmt werden,von denen Pfeile auf das betreffende Signal zeigen.
Die Wirkung jedes Pfeiles ergibt sich als Produkt des
Kantengewichts und des Wertes desjenigen Signals, von dem die
Kante ausgeht.Zeigen zwei oder mehrere Kanten auf denselben Knoten,
so addieren sich ihre Wirkungen.
Der Signalflussgraph ist ein gerichteter Graph, bei dem die Knoten Signale und die Kanten Übertragungseigenschaften beschreiben.Er hat folgende Interpretaion:
Der Wert jedes Signals kann in Abhängigkeit von den Signalen
bestimmt werden,von denen Pfeile auf das betreffende Signal zeigen.
Die Wirkung jedes Pfeiles ergibt sich als Produkt des
Kantengewichts und des Wertes desjenigen Signals, von dem die
Kante ausgeht.Zeigen zwei oder mehrere Kanten auf denselben Knoten,
so addieren sich ihre Wirkungen.
Das Blockschaltbild
Das Blockschaltbild beschreibt, aus welchen Teilsystem sich ein System
zusammensetzt und wie die Teilsysteme verkoppelt sind.
der Strukturelle Aufbau eines dynamischen Systems betrachtet wird, hat zwei
Gründe: 1: Die Genauigkeit jedes Modells hängt in entscheidender Weise davon ab, ob das Modell das betrachtete reale System strukturell richtig beschreit.
2: Strukturelle Darstellung vermitteln eine Übersicht über den Aufbau des Systems und tragen entscheidend zum Verständnis des Systemverhaltens bei.Sie zeigen, wie die Signale untereinander verkoppelt sind, wo Rückkkopplung auftreten und ob das system in unabhängige Teilsysteme zerlegt werden kan.
Pfeil: stellen Signale,also zeitlich veränderliche Größen,dar.
Blöcke:repräsentieren dynameishce Systeme,also Verarbeitungseinheiten der Signalen.
Signale haben eine eindeutige Wirkungsrichtung,die durch die Pfeile
beschrieben wird. Der Pfeilanfang beschreibt, wo das signal entsteht.
Die Pfeilanfang beschreibt, wo das signal entsteht.Die Pfeilspitze weist auf den
Block, in dem das Signal als Ursache anderer Vorgänge auftritt.
Die Blöcke werden auch als Übertragungsglieder bezeichent, wenn sie lediglich eine Eingangsgröße und eine Ausgangsgröße besitzen.
zusammensetzt und wie die Teilsysteme verkoppelt sind.
der Strukturelle Aufbau eines dynamischen Systems betrachtet wird, hat zwei
Gründe: 1: Die Genauigkeit jedes Modells hängt in entscheidender Weise davon ab, ob das Modell das betrachtete reale System strukturell richtig beschreit.
2: Strukturelle Darstellung vermitteln eine Übersicht über den Aufbau des Systems und tragen entscheidend zum Verständnis des Systemverhaltens bei.Sie zeigen, wie die Signale untereinander verkoppelt sind, wo Rückkkopplung auftreten und ob das system in unabhängige Teilsysteme zerlegt werden kan.
Pfeil: stellen Signale,also zeitlich veränderliche Größen,dar.
Blöcke:repräsentieren dynameishce Systeme,also Verarbeitungseinheiten der Signalen.
Signale haben eine eindeutige Wirkungsrichtung,die durch die Pfeile
beschrieben wird. Der Pfeilanfang beschreibt, wo das signal entsteht.
Die Pfeilanfang beschreibt, wo das signal entsteht.Die Pfeilspitze weist auf den
Block, in dem das Signal als Ursache anderer Vorgänge auftritt.
Die Blöcke werden auch als Übertragungsglieder bezeichent, wenn sie lediglich eine Eingangsgröße und eine Ausgangsgröße besitzen.
Regelungsaufgabe
Die Regelungsaufgabe befasst mit folgender Aufgabenstellung:
Gegeben ist ein dynamisches System(Regelstrecke,Kurz:Strecke)mit einer von
außen beeinflussebaren Größe(Stellgröße) und einer messbaren
Größe(Regelgröße).Weiterhin ist ein Regelungsziel vorgegeben,das
typischerweise die Aufgabe enthält,die messbare Größe auf einem
vorgegebenen konstanten Wert zu halten oder in der durch die
Führungsgöße vorgegebenen Weise zeitlich zu veränadern.Gleichzeitig
soll die Wirkung der äußeren Störung unterdrückt.
Gesucht ist eine Regelungrichtung(Kurz:Regler),die unter Nutzung der
gemessenen Werte die Stellgröße so vorgibt, dass das geregelte
System das Regelungsziel erfüllt.
Gegeben ist ein dynamisches System(Regelstrecke,Kurz:Strecke)mit einer von
außen beeinflussebaren Größe(Stellgröße) und einer messbaren
Größe(Regelgröße).Weiterhin ist ein Regelungsziel vorgegeben,das
typischerweise die Aufgabe enthält,die messbare Größe auf einem
vorgegebenen konstanten Wert zu halten oder in der durch die
Führungsgöße vorgegebenen Weise zeitlich zu veränadern.Gleichzeitig
soll die Wirkung der äußeren Störung unterdrückt.
Gesucht ist eine Regelungrichtung(Kurz:Regler),die unter Nutzung der
gemessenen Werte die Stellgröße so vorgibt, dass das geregelte
System das Regelungsziel erfüllt.
Abbildung 1.2 erläutert diese Aufgabenstellung. Die Regelgröße y(t) hängt von
der Stellgröße u(t) und einer Störgröße d(t) ab,die nicht beeinflussbar ist.
Ziel der Regleung ist es,die Regelgröße der vorgegebenen Führungsgröße
w(t) nachzuführen, so dass idealerweise y(t) = w(t) für alle Zeitpunkte
t gilt.Der Regler muss deshalb die Stellgröße u(t) so vorgeben, dass
der Einfluss der Störgröße auf die Regelgröße kompensiert und die
Regelgröße der Führungsgröße angepasst wird.Dabei steht dem Regler als
Information neben dem gewünschten Wert w(t) auch der aktuelle Wert y(t) der
Regelgröße zur Verfügung.Als Differenz e(t) = w(t) - y(t) beider Größen kann der
Regler die Regelabweichung(Regeldifferenz)bestimmen und in Abhängigkeit von
dieser die Stellgröße zweckmäßig vorgeben.Der Regler stützt sich also nicht nur
auf die Führungsgröße w(t), sondern auch auf den aktuellen Istwert y(t)der
Regelgröße. wenn die Fühurngsgröße konstant ist,bezeichnet man w als sollwert.
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